\centerline{\bf Kapitola 2. Posloupnosti }
\vskip 1 cm
{\bf 2.1. �vodn� definice}

\medskip
{\bf Definice 2.1:} 

Posloupnost� $(a_n)_{n=n_0}^{\infty}$  rozum�me 
p�edpis, kter� ka�d�mu $n \in 
N, n \geq n_0$ p�i�ad� re�ln� resp komplexn� ��slo $a_n$. To\-to $a_n$ 
na\-zve\-me n-t�m 
�le\-nem pos\-loup\-nos\-ti $(a_n)_{n=n_0}^{\infty}$.

\medskip
{\bf Definice 2.2:}

Posloupnost $(a_n)$ je shora omezen�, je-li $\{a_n; n \in N\}$ shora 
omezen�.

Posloupnost $(a_n)$ je zdola omezen�, je-li $\{a_n; n \in N\}$ zdola 
omezen�.

Posloupnost $(a_n)$ je omezen�, je-li  shora 
omezen� a zdola omezen�.

\medskip
{\bf Definice 2.3:}

Posloupnost  $(a_n)$ je klesaj�c�, jestli�e $\forall n \in N : a_n >
a_{n+1}$.

Posloupnost  $(a_n)$ je rostouc�, jestli�e $\forall n \in N : a_n < 
a_{n+1}$.

Posloupnost  $(a_n)$ je nerostouc�, jestli�e $\forall n \in N : a_n \geq 
a_{n+1}$.

Posloupnost  $(a_n)$ je neklesaj�c�, jestli�e $\forall n \in N : a_n \leq 
a_{n+1}$.


Posloupnost  $(a_n)$ je monotonn�, jestli�e je nerostouc� nebo 
neklesaj�c�.


Posloupnost  $(a_n)$ je ryze monotonn�, jestli�e je rostouc� nebo 
klesaj�c�.
\bigskip

{\bf 2.2. Konvergentn� posloupnosti}
\medskip
{\bf Definice 2.4:} 

�ekneme, �e posloupnost $(a_n)$ m� limitu $a \in R$ (zna��me 
$\lim\limits_{n\to 
\infty} a_n = a$ nebo $a_n \to a$), jestli�e

$$ \forall \epsilon \in (0, \infty) \exists n_0 \in N \forall n \geq n_0 
: |a_n - a| < \epsilon.$$

{\bf Pozn�mka}

Posloupnosti, kter� maj�  limitu $a \in R$ nazveme konvergentn� 
posloupnosti nebo posloupnosti s vlastn� limitou. 

\medskip
{\bf V�ta 2.1:}\ (Jednozna�nost limity)

Jestli�e $a_n \to a$ a sou�asn� $a_n \to b$, pak  $a=b$.


\medskip
{\bf V�ta 2.2:}\ (Konvergence a omezenost)

Je-li  posloupnost $(a_n)$ konvergentn�, pak je omezen�.
\medskip
{\bf D�sledek:}\

Jestli�e $a_n \to a > 0$, pak existuje $n_0$ tak, �e pro v�echna $n \geq 
n_0$ je $a_n > \frac{a}{2}$.


\medskip
{\bf V�ta 2.3:}\ (Aritmetika limit)

Jestli�e $a_n \to a, b_n \to b, a,b \in R$, pak plat�

(i) $\lim_{n\to \infty} (a_n + b_n) = a+b $,

(ii) $\lim_{n\to \infty} (a_n . b_n) = a.b $.

(iii) Je-li nav�c $b \neq 0$, pak $\lim_{n\to \infty} 
\frac{a_n}{b_n} = \frac{a}{b}$.

\medskip
{\bf Pozn�mky}

V�tu 3 je mo�n� v n�kolika sm�rech zobecnit. �asto budeme pou��vat tato 
tvrzen�:

a.  Je-li $(a_n)$ omezen�, $b_n \to 0 $, pak $a_n.b_n \to 0$,

b.  $a_n \to a \Rightarrow |a_n| \to |a|$,
 
c.  $a_n \to 0  \Leftrightarrow |a_n| \to |a|$.

\medskip

{\bf V�ta 2.4:}\ (Limita a nerovnosti) 

 Nech� $a_n \to a, b_n \to b$. Pak plat�

        Jestli�e $\exists n_0 \forall n \geq n_0 : a_n \leq b_n$, pak $a 
        \leq b.$
        
        Jestli�e $a< b$, pak $\exists n_0 \forall n\geq n_0 : a_n < b_n$.
 
\medskip

{\bf V�ta 2.5:}\ (V�ta o dvou policajtech) 
       
Nech� $\exists n_0 \forall n\geq n_0 : a_n \leq b_n \leq c_n$ a $a_n 
\to a, c_n \to a$. 

Pak  existuje $\lim_{n\to \infty} b_n = a$.

\bigskip
{\bf 2.3. Nevlastn� limity}
\medskip
{\bf Definice 2.5}

Ozna�me $R^* = R \cup \{\infty, -\infty\}$.Pro ka�d� $\epsilon > 0$  definujeme 


$U(\infty, \epsilon)=  P(\infty, \epsilon)=
(\frac{1}{\epsilon}, \infty),U(-\infty, \epsilon)=  P(-\infty, 
\epsilon)=
(-\infty, -\frac{1}{\epsilon}).$
\medskip

{\bf Definice 2.6:} 

Bu� $a \in R^* $. �ekneme, �e posloupnost $(a_n)$ 
m� limitu $a$ (zna��me $\lim_{n\to 
\infty} a_n = a$ nebo $a_n \to a$), jestli�e

$$ \forall \epsilon \in (0, \infty)\  \exists n_0 \in N\  \forall n \geq n_0 
: a_n \in U(a,\epsilon).$$

\medskip
{\bf Pozn�mka:}

I pro nevlastn� limity plat� v�ta o jednozna�nosti limity, posloupnost, kter� m� nevlastn� limitu, v�ak nen� omezen�.

\medskip
{\bf V�ta 2.6:}\ (Aritmetika limit znovu) 

Bu�te $a,b, \in R^*, a_n \to a, b_n \to b$. Pak

(i) $a_n + b_n \to a+b$,

(ii) $a_n .b_n \to a.b$,

(iii) $\frac{a_n}{b_n}\to \frac{a}{b}$,

kdykoliv maj� v�razy na prav� stran� smysl.

\medskip
{\bf Pozn�mky}

(i) Nejsou definov�ny (nemaj� smysl) v�razy $\infty - \infty, 0.\infty, 
\frac{a}{0},\frac{\infty}{\infty}$.

(ii)  Jestli�e $a_n \to \infty, (b_n)$ je zdola omezen�, pak 
$\lim_{n\to \infty} (a_n + b_n) = \infty$.

(iii) Jestli�e $a_n \to \infty, (b_n)$ je zdola omezen� kladnou konstantou, pak 
$$\lim_{n\to \infty} (a_n. b_n) = \infty.$$

(iv) Je-li $\lim_{n\to \infty} b_n = 0, b_n > 0$ pro v�echna dostate�n� velk� $n$, pak 
$\frac{1}{b_n} \to \infty$.



\bigskip
{\bf 2.4. Hlub�� v�ty o posloupnostech}
\medskip
{\bf Definice 2.7}

Bu� $M \neq \emptyset$. Nen�-li $M$ shora omezen�, definujeme $\sup M = \infty$, nen�-li $M$ zdola 
omezen�, definujeme $\inf M= -\infty$. D�le polo�me $\sup \emptyset = -\infty, 
\inf \emptyset= \infty$.

\medskip
{\bf V�ta 2.7:}\ (O limit� monotonn� posloupnosti)

Bu� $(a_n)$ monotonn�. Pak existuje $a \in R^*$ tak, �e $a_n \to a$.

\medskip
{\bf Definice 2.8}\ (Vybran� posloupnost)

Bu� $( n_k)_{k=1}^{\infty}$ rostouc� posloupnost p�irozen�ch ��sel. Pak posloupnost 
$(b_k)_{k=1}^{\infty}$ je vybran� 
posloupnost (z posloupnosti $(a_n)_{n=1}^{\infty}$), jestli�e
$$
b_k = a_{n_k}, \quad \forall k \in N.
$$

\medskip
{\bf  Lemma 2.1:}

Je-li $a_n \to a, (a_{n_k})$ vybran� posloupnost, 
pak $a_{n_k} \to a$. 
\medskip
{\bf Definice 2.9}\ (Hromadn� hodnoty posloupnosti)

$a \in R^*$ je hromadnou hodnotou posloupnosti $(a_n)$, jestli�e 
existuje vybran� posloupnost $(a_{n_k})$  tak, �e $a_{n_k} \to a$. 
Mno�inu v�ech hromadn�ch hodnot posloupnosti $(a_n)$ zna��me $H((a_n))$.

\medskip
{\bf Definice 2.11}\ (Limita superior a inferior)

Je-li posloupnost $(a_n)$  shora omezen�, definujeme limitu superior (zna��me 
$\varlimsup a_n$ nebo $\text{limsup} a_n$ ) takto: 
$$ \varlimsup a_n = \lim b_n,\  \text{kde}\quad b_n = \sup\{a_k;  k\geq n\}.$$

Nen�-li $(a_n)$  shora omezen�, definujeme  $\varlimsup a_n = \infty.$

Je-li posloupnost $(a_n)$  zdola omezen�, definujeme limitu inferior (zna��me 
$\varliminf$ nebo $\text{liminf} a_n$) takto: 
$$ \varliminf a_n = \lim c_n,\  \text{kde}\quad c_n = \inf\{a_k; k\geq n\}.$$

Nen�-li $(a_n)$  zdola omezen�, definujeme  $\varliminf a_n = - \infty.$



\medskip
{\bf V�ta 2.9:}\ (Limita superior a limita inferior jsou hromadn� hodnoty)

Bu� $(a_n)$ posloupnost re�ln�ch ��sel Pak $\varlimsup a_n$ je maximem mno�iny $H((a_n))$ a  $\varliminf a_n$ je minimem mno�iny $H((a_n))$.

\medskip
{\bf V�ta 2.10:}\ (Bolzano-Weierstrassova)

Bu� $(a_n)$ omezen� posloupnost. Pak existuje vybran� posloupnost 
$(a_{n_k})$, 
kter� je konvergentn�.



\medskip
{\bf Definice 2.9}\ (Cauchyovsk� posloupnosti) 

�ekneme, �e posloupnost $(a_n)$ je cauchyovsk� (spl�uje BCP), jestli�e

$$
\forall \epsilon >0 \  \exists n_0\  \forall n,m \geq n_0: |a_n - a_m| 
<\epsilon.
$$


\medskip
{\bf  Lemma 2.2:}

Ka�d� konvergentn� posloupnost je cauchyovsk�.


\medskip
{\bf  Lemma 2.3:}

Ka�d� cauchyovsk� posloupnost je omezen�.


\medskip
{\bf  Lemma 2.4:}

Je-li $(a_n)$ cauchyovsk� a  vybran� posloupnost $(a_{n_k})$  konvergentn�, pak je i 
$(a_n)$ konvergentn�.

\medskip
{\bf V�ta 2.11:}\ (Bolzano-Cauchyova)

Posloupnost $(a_n)$ je konvergentn� pr�v� tehdy, je-li cauchyovsk�.

\end

\bye
\enddocument


